Докажите что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба

+ 0 -

Никита7

11 марта 2015 г., 19:17:27 (9 лет назад)

Допустим возьмем прямоугольник ABCD(А -нажняя левая вершина,В - верхняя левая, С-верхняя правая, Д- нижняя правая ) М- середина АВ, N - середина ВС, P -середина СД,К - середина АД
1)чтобы доказать,что середины сторон являются вершинами ромба,требуется доказать,что четырехугольник МNPK -ромб
Для этого докажем что
а) этот четырехугольник является параллелограмом,
а затем докажем,что
б) 2 его смежные (т.е. стороны исходящие из одной вершины) стороны равны
Док-во пункта а):
Рассмотрим треугольники АМК и NPC - прямоугольные :
NC=AK
AM=PC (как стороны прямоуглника АВСД, рзделенные пополам)
из этого следует,что треугольники равны по двум катеттам,а значит и МК = NP

Далее рассматриваем прямоугольные треугольники MNB и КРД
аналогично доказываем,что они равны,а значит чтороны MN=PK

Рассмотрим четырехугольник MNPK : МК = NP и MN=PK,а значит он является праллелограмом