Нид хелп! С объяснением. См. вл.

+ 0 -

Neohesque

18 июня 2015 г., 7:10:16 (8 лет назад)

AD - нижняя сторона ромба (слева направо)
BC - верхняя сторона ромба (слева направо)
R₁=√11 - радиус окр-ти, описанной около тр-ка ABD
R₂=5 - радиус окр-ти, описанной около тр-ка ACD
Пусть сторона ромба равна a.
Угол A<90; A=α⇒Угол B=180-α>90
Сумма углов, прилежащих к одной стороне парал-ма равна 180
Выразим диагонали ромба через сторону и угол
По теореме косинусов:
BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosα=a^2+a^2-2a^2cosα=2a^2(1-cosα)
AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CD*cos(180-α)=a^2+a^2-2a^2*(-cosα)=2a^2(1+cosα)
a) В тр-ке ABD по теореме синусов:
BD/sinα=2R₁⇒BD^2/(sinα)^2=4R₁^2; R₁^2=11
2a^2(1-cosα)/(sinα)^2=44⇒
b) В тр-ке ACD по теореме синусов:
AC/sin(180-α)=2R₂⇒AC^2/(sinα)^2=4R₂^2; R₂^2=25
2a^2(1+cosα)/(sinα)^2=100⇒
Получаем систему:
2a^2(1+cosα)/(sinα)^2=100
2a^2(1-cosα)/(sinα)^2=44
Делим первое уравнение на второе:
(1+cosα)/(1-cosα)=25/11⇒(1+cosα)*11=(1-cosα)*25⇒
11+11cosα=25-25cosα⇒36cosα=14⇒cosα=7/18
(sinα)^2=1-(cosα)^2=1-49/324=275/324⇒sinα=√25*11/18^2=5/18*√11
sinα=5√11/18; (sinα)^2=275/324
1) Теперь из любого уравнения находим a:
2a^2(1+cosα)/(sinα)^2=100⇒a^2(1+cosα)/(sinα)^2=50⇒
a^2=50(sinα)^2/(1+cosα)⇒
a^2=50*275/324/(1+7/18)=50*275/324/(25/18)=50*275/324*18/25=275/9⇒
a=√275/9=√25/9*11=5√11/3
a=5√11/3 - сторона ромба; a^2=275/9
Найдем длины диагоналей:
BD^2=2a^2(1-cosα)=2*275/9*(1-7/18)=(2*25*11*11)/(9*9*2)=25*(11/9)^2⇒
BD=5*11/9=55/9⇒BO=OD=55/18
AC^2=2a^2(1+cosα)=2*275/9*(1+7/18)=(2*25*11*25)/(9*9*2)=11*(25/9)^2⇒
AC=25√11/9⇒AO=OC=25√11/18
2) Приступим к нахождению расстояния между центрами окр-тей
Центр описанной окр-ти лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам⇒центры окр-тей лежат на диагоналях
Пусть O - точка пересечения диагоналей.
Тр-ник ABD - остроугольный⇒центр описанной окр-ти O₁ лежит внутри тр-ка, то есть O₁∈AO; AO₁<AO
AO₁=R₁=√11⇒OO₁=AO-AO₁=25√11/18-√11=7√11/18
Тр-ник AСD - тупоугольный⇒центр описанной окр-ти O₂ лежит вне тр-ка, то есть O₂∉DO; DO₂>DO
AO₁=R₁=√11⇒OO₁=AO-AO₁=25√11/18-√11=7√11/18
DO₂=R₂=5⇒OO₂=DO₂-DO=5-55/18=35/18
O₁O₂ - расстояние между центрами
Тр-ник O₁OO₂ - прямоугольный⇒
O₁O₂^2=O₁O^2+OO₂^2=(7√11/18)^2+(35/18)^2=7^2*11/18^2+7^2*5^2/18^2=
=(7/18)^2*(11+25)=(7*6/18)^2=(7/3)^2⇒
O₁O₂=7/3 - расстояние между центрами