как найти вершину кубической параболы

10-11 класс

f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

77899 04 июня 2015 г., 0:53:53 (8 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Brodroider

04 июня 2015 г., 1:33:41 (8 лет назад)

Полагаем $a \neq 0$ . Ищем производную: $f'(x)=3a x^{2} +2bx+c$ . Когда производная равна нулю, мы имеем либо точку локального максимума\минимума либо точку перегиба. Для того, чтобы определить точка ли это локального максимума\минимума или точка перегиба, нам надо определить, меняет ли производная знак в этой точке или нет. Если меняет, то это точка локального максимума\минимума, если нет - точка перегиба. Чтобы найти значения х в вершинах (а их у нашего графика может быть две), приравняем производную к нулю:
$3a x^{2} +2bx+c=0$
$D=4 b^{2}-12ac$
Если D>0, то у нас есть две вершины.
Если D=0, то у нас есть точка перегиба.
Если D<0, то наша функция либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает.
Так как нас интересуют вершины, мы будем рассматривать только первый случай:
$x_{1}= \frac{-2b+2 \sqrt{ b^{2} -3ac} }{6a}$
$x_{2}= \frac{-2b-2 \sqrt{ b^{2} -3ac} }{6a}$
Соответственно, значения у в этих точках будут равны:
$y_{1}=f(x_{1})$
$y_{2}=f(x_{2})$