Нужно решение.

5-9 класс

Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине вписанной
окружности равно 2‍√5.‍ Найдите углы трапеции

Cонечка265 11 сент. 2014 г., 13:35:30 (9 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Kric202

11 сент. 2014 г., 15:02:55 (9 лет назад)

Трапеция $ABCD$ $AD,BC$ нижнее и верхнее основания соответственно $a,b$ .
Положим что основания трапеций равны $a,b$ , боковая сторона $c$
Так как в нее можно вписать окружность , то $a+b=2c$ .
Угол $CDA = x$
По теореме косинусов получим
$a^2-2ac*cosx=b^2+2bc*cosx\\
a^2-b^2 = 2c*cosx*(b+a)\\
cosx= \frac{a-b}{a+b} 

$
$
AC=\sqrt{a^2+(\frac{a+b}{2})^2-2a*\frac{a+b}{2}*\frac{a-b}{a+b}}\\
 AC=\sqrt{\frac{a^2+6ab+b^2}{4}}$

Рассмотрим треугольник
   $ACD$ он описанный , тогда по тереме синусов
   $R=\frac{\frac{\sqrt{a^2+6ab+b^2}}{2}}{ 2*\sqrt{1- \frac{a-b}{a+b}}^2 }\\
R=\frac{ (a+b)\sqrt{a^2+6ab+b^2}}{ab} * \frac{1}{4} \\
$
$r=\sqrt{c^2-\frac{ (a-b) ^2}{4}} * \frac{1}{2}= \sqrt{ (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2}*0.5 = \sqrt{ab}*\frac{1}{2}$

$\frac{R}{r} =2\sqrt{5}\\
\frac{ (a+b)^2 *(a^2+6ab+b^2)}{a^2b^2}=320 \\
b=4\sqrt{3}a+7a\\
cosx=\frac{1-4\sqrt{3}-7}{1+4\sqrt{3}+7} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\\
 x=150а$
$150;30$



Ответ