Доказать,что если высота и медиана треугольника,проведенные из вершины угла треугольника,делят этот угол на три равные части,то треугольник прямоугольный.
10-11 класс
|
Пусть в треугольнике ABC проведены высота CH и медиана CM, при этом углы ACH, HCM, MCB равны (см. рисунок). В треугольнике ACM высота CH является также биссектрисой. Тогда треугольник равнобедренный с основанием AM. Обозначим сторону AB за 4x, тогда AM=MB=2x. Так как ACM равнобедренный, то CH также является медианой, тогда AH=HM=x.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. Биссектриса CM делит его сторону BH вотношении 1:2. Тогда стороны CH и CB тоже относятся как 1:2 (MH/MB=CH/CB). То есть CH/BC=1/2. Если катет прямоугольного треугольника в 2 раза меньше гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам. Тогда угол HBC равен 30 градусам, а угол HCB равен 60 градусам. Если 2/3 угла C исходного треугольника равны 60 градусам, то угол C равен 90 градусам. Тогда треугольник прямоугольный, что и требовалось доказать.
Другие вопросы из категории
между прямой ae и плоскостью abc.
Читайте также
прямоугольного треугольника ,проведенная к гипотенузе,делит её на отрезки длиной 18 см и 32 см.Найти катеты треугольника. 3.Катеты прямоуг.треуг. равны 9 см и 12см.Найти высоту треугольника ,проведенную из вершины прямого угла. Решите пожалуйста с рисунками к задачам!
проведенной из вершины A, равна 18 см.
вписанной в основание пирамиды. б) высоты всех боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, равны. в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины пирамиды. ( Геометрия 10 класс. Прошу полные варианты решений с подробным объяснением.можно приложить чертеж. )
равные части). Найдите угол АНВ (в градусах), если ÐB = 42 .
2.В равнобедренном треугольнике ABC проведены трисектрисы АЕ и АН угла А (лучи, делящие угол на 3 равные части), причем АН является высотой треугольника АВС. Найдите угол В (в градусах).
3.В ромб со стороной 25 вписана окружность. Найдите радиус окружности, если диагонали ромба относятся как 3:4.