основание равнобедренного треугольника равно 10, боковая сторона равна 13. отрезок с концами на боковых сторонах треугольника параллелен основанию и
10-11 класс
|
делится окружностью, вписанной в треугольник, в отношении 1:8:1. найдите длину этого отрезка.
Я не нашел простого решения, хотя сам факт, что одно из возможных решений - средняя линяя, наводит на мысль, то простое решение есть.
Начнем с того, что если мы проведем высоту ВН (см чертеж), то получим два Пифагоровых треугольника со сторонами 5,12 и 13, приставленных друг к другу катетами 12. То есть ВН = 12.
Следуя правилу избегать шаблонов, вычислим радиус вписанной окружности r = ОН, используя свойство биссектрисы АО.
ОН/ОВ = АН/АВ => OH/BH = AH/(AH+AB); откуда r = 10/3; само собой ОВ = 26/3;
Теперь перейдем к построению искомого отрезка.
Самый простой способ - отложить от вершин А и С отрезки, равные 1, и соединить полученные точки с В. Получится две секущие. Через точки пересечения этих секущих прямых с окружностью проводим прямые II AB. Это и будут решения, поскольку пропорциональность отрезков гарантируется :))). Теперь нам отчетливо видно, что решений ровно два. Уже из чертежа видно несколько вариантов КОНКРЕТНОГО вычисления длин этих отрезков. Однако все эти способы совершенно непрозрачны, и потому, даже получая верный результат, испытываешь некоторое неудовлетворение.
Поэтому я вычислил ТАНГЕНС угла между построенной секущей и ВН (он равен 4/12 = 1/3)
и перешел к чертежу 2.
Самый простой способ получения ПОНЯТНОЙ системы уравнений для этой задачи - это написать уравнения окружности и прямой и вычислить координаты их пересечения. Поскольку "уравнение окружности" - ничто иное, как простая теорема Пифагора, а уравнение прямой y = x/3 понятно нынче в начальной школе, ничего сложного в представленной на чертеже системе нет. Тут важно только понять, что нас интересуют не x и y, а 5*y/2 :)))
Итак
помещаем 0 в точку В и выбираем прямую ВН за ось X. Ось Y, конечно же, перпендикулярна оси X и проходит через точку 0 (то есть В). Тогда для каждой точки окружности с центром в точке x0 = (26/3; 0) и радиусом r = 10/3; справедливо равенство
(x - 26/3)^2 + y^2 = (10/3)^2; (это просто теорема Пифагора :))
Для точек секущей
у = x/3; подставляем x = 3*y; в уравнение окружности,
и отсюда сразу получается квадратное уравнение на y :)
(3*y - 26/3)^2 +y^2 = (10/3)^2;
или, после упрощений
y^2 - 5,2*y + 6,4 = 0;
(Этот способ технически безупречен :), видно на каждом шаге, откуда и что получается.)
y1 = 2; y2 = 3,2;
Вспоминаем про 5/2, и ответ
5 или 8.
5 - это средняя линяя, размер 8 тоже встречается в задаче - это ВР. Довольно странно, поскольку пропорция в задаче выглядит случайной.
Другие вопросы из категории
Читайте также
равна 25 см.
2. В треугольнике две боковые стороны равны 30 см и 40 см, а высота, проведенная к третьей стороне равна 24 см. Вычислить медиану треугольника, которая проведена к третьей стороне.
2.В правильной 3угольной пирамиде боковое ребро равно 10 см и наклонено к плоскости основы под углом .Найдите высоту пирамиды.
3.В правильной 4угольной пирамиде боковая грань наклонена к основе по д углом , а ее высота равна 12 см.Найтдите апофему пирамиды.
4.Найдите площадь полной поверхности правильной 4угольной
пирамиды, в которой сторона основы равна 6 см, а боковая грань наклонена к основе под углом .
5.Найдите площадь полной поверхности правильной 3угольной пирамиды, в которой апофема равна L и образует с высотой пирамиды угол .
Помогите решить хотя-бы 2 номера..буду благодарна за помощь)
(градусов).Диагональ боковой грани,содержащей основание равнобедренного треугольника,равна 10 см. Найти площадь боковой и полной поверхности.
опущенная на боковую сторону треугольника?
: 2)В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 14√3,острый угол, прилежащий к нему, равен 30°,а гипотенуза равна 28.Найдите площадь треугольника.
3)Площадь прямоугольного треугольника равна 722√3. Один из острых углов равен 30°.Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.
4)Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соотвественно 40и85.
5)В треугольнике одна из сторон равна 21,другая равна 6,а угол меду ними равен 150°, Найдите площадь треугольника.
6) Прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4,угол,лежащий напротив него, равен30°,а гипотенуза равна 8.Найдите площадь треугольника.
7) В треугольнике одна из сторон равна50,другая равна 4,а синус угла между ними равна 9/10.найдите площадь треугольника.
8)В прямоугольнике диагональ равна 96,угол между ней и одной из сторон равна30°, длина этой стороны 48√3,найдите площадь прямоугольника.