Докажите, что сумма квадратов двух медиан прямоугольного треугольника, проведенных к катетам, равна 5/4 квадрата гипотенузы.
5-9 класс
|
Пусть АВС - исходный треугольник, С - вершина прямого угла, а АЕ и ВD - медианы.
Пусть ВС = а, АС = b. Тогда по теореме Пифагора
ВD² = BC² + CD² = a² + (b/2)² = a² + b²/4
AE² = AC² + CE² = b² + (a/2)² = b² + a²/4
Следовательно
BD² + CE² = a² + b²/4 + b² + a²/4 = 5/4 * (a² + b²) = 5/4 * AB²
ΔАВС, <С=90⁰,АС=в, ВС=а, АВ=с . АМ и ВК медианы , а значит делят стороны пополам.
ΔАСМ ,<С=90⁰,СМ=½а,АС=в, пот. Пифагора АМ²=МС²+АС²=¼а²+в².
Аналогично ВК²=ВС²+СК²=а²+¼в²,тогда
АМ²+ВК²=¼а²+в²+а²+¼в²=1¼а²+1¼в²=5/ 4а²+5/ 4в²=5 /4(а²+в²)=5/ 4(ВС² +АС²)=
=5/ 4АВ², что и требовалось доказать.
Другие вопросы из категории
5 см,а высота,проведенная к ней,в 2 раза больше стороны.Найдите площадь треугольника.
№3
В трапеции основания равны 6 и 10 см,а высота равна полусумме длин оснований.Найдите площадь тропеции.
№4
Стороны параллелограмма равны 6 и 8см,а угол между ними равен 30 градусов.Найдите площадь параллеограмма.
№5
Диогонали ромба относятся как 2:3,а их сумма равна 25см.Найдите площадь ромба.
Читайте также
3.Найти площадь прямоугольного треугольника , если длина катетов равна 2,8 см и 4,2 см. 4.Найдите отношение площадей двух подобных прямоугольных треугольников,если их коеффициент подобия равен 3,7. пожалуйста все кто могут помогите((((( можно и фотки
два равных треугольника.
в) докажите , что прямая BK , перпендикулярная медиане BD треугольник ABC не имеет общих точек с прямой AC. (BK параллельно AC)
ли две прямые параллельны третьей прямой , то они параллельны .3. Какая теорема называется обратной данной теореме?Приведите примеры теорем, обратных данным .4.Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.5.Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых , то она перпендикулярна и к другой.6.Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма односторонних углов равна 180°.
г) Докажите,что прямая ВК, перпендикулярная медиане ВD тр-ка АВС , содержит биссектрису одного из внешних углов этого треуг-ка. д) Возможно ли равенство АЕ=ЕС, если точка Е не лежит на прямой, содержащей медиану ВD треуг-ка АВС.адусов