ДАЮ 40 ПУНКТОВ! Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2, а радиус описанной окружности равен 5. Тогда расстояние между центрами

+ 0 -

мгоплд

13 янв. 2014 г., 22:50:36 (10 лет назад)

Центр описанной окружности O лежит на середине гипотенузы⇒
AB=10 - гипотенуза; AO=OB=5
O1 - центр вписанной окружности. Нужно найти O1O
AC, CB - катеты. Опустим перпендикуляры из центра O1 на стороны тр-ка.
O1E перпенд  AC
O1F перпенд CB
O1K перпенд AB
CE=CF=O1E=O1F=2
Из прямоугольного тр-ка OKO1:
OO1^2=O1K^2+OK^2
O1K=2 - радиус вписанной окружности
Пусть AK=x⇒KB=10-x
По свойству касательных AE=AK=x; BF=BK=10-x
Тогда, AC=AE+CE=x+2; BC=CF+BF=2+10-x=12-x
По теореме Пифагора
AC^2+BC^2=AB^2
(x+2)^2+(12-x)^2=100⇒x^2+4x+4+144-24x+x^2=100⇒
2x^2-20x+48=0⇒x^2-10x+24=0⇒
x1+x2=10; x1*x2=24⇒x1=4; x2=6
1)x1=4⇒AC=6; BC=8
2) x2=6⇒AC=8; BC=6
Короче, один катет=6, а другой - 8
Для определенности берем AC=8; BC=6
AK=AE=8-2=6⇒OK=AK-AO=6-5=1
OO1^2=O1K^2+OK^2=2^2+1^2=5⇒OO1=√5
Ответ: √5