1) В треугольнике ABC высота CH и медиана CK делят угол пополам ACB на три равных угла . Площадь треугольника ABC равна 1,5 + √3(корень из 3) . Найдите

+ 0 -

Mishankarlson

13 июня 2014 г., 13:28:05 (9 лет назад)

Легко видеть, что треугольник АВМ равнобедренный (в нем высота ВН является биссектрисой угла АВМ), и АН = НМ. Конечно же, НМ = МС/2, поскольку ВМ - медиана АВС. В прямоугольном треугольнике НВС (смотри чертеж) ВМ - биссестриса. Поэтому ВН/ВС = НМ/МС = 1/2; 

Это означает, что угол АСВ = Ф = 30 градусов.

Отсюда моментально - угол НВС = 60 градусов,

угол МВС = угол МВН (и = угол АВН, конечно) = 30 градусов.

Поэтому угол АВС - прямой. Угол ВАН = 60 градусов.

конечно же, (см. обозначения на чертеже, немного нестандартно:  b - гипотенуза АВС, с - малый катет, а - большой) b = 2*с, а = с*корень(3).

Далее поступим так.

Рассмотрим подобный этому треугольник со сторонами 1, корень(3) и 2;

Вычислим его площадь и радиус вписанной окружности.

легко видеть, что площадь его равна

S0 = корень(3)/2;

а радиус

r0 = (1 + корень(3) - 2)/2 = (корень(3) - 1)/2;

По условию S = 3/2 + корень(3); 

Пусть x = корень(S/S0); тогда если все линейные размеры (длины сторон) увеличить в х раз, то площадь S0 увеличится в х^2 = S/S0 раз и станет равной требуемой S. 

То есть ответ задачи 

r = r0*корень(S/S0) = ((корень(3) - 1)/2)*корень(2 + корень(3)) = 1/корень(2); (надо представить (корень(3) - 1) = корень((корень(3) - 1)^2) =

=корень(2*(2-корень(3))), и все сразу становится проще :)) 

2. Здесь решение просто видно "на глаз", поскольку середины отрезков ОВ и АС имеют одни и те же координаты (4; 3,5).

В самом деле,

4 = (0 + 8)/2 = (2 + 6)/2;

3,5 = (0 + 7)/2 = (5 + 2)/2;