В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M соответственно, причём ∠ KMC+∠ A= 180°: а) докажите, что KM/AC=BK/BC ; б)найдите отношение AB :
5-9 класс
|
BM , если площадь четырёхугольника AKMC относится к площади треугольника BKM как 8 : 1.
Если построить окружность по трем точкам К, М и С, то точка А неизбежно попадет на неё. В самом деле, предположив, что это не так, и рассматривая углы КАС и КА1С (А1 - точка пересечения АС с окружностью, проходящей через К, М, С), можно увидеть, что в треугольнике АА1К внешний угол равен внутреннему, поскольку
угол КА1С = 180 - угол КМС и угол КАС = 180 - угол КМС (это задано в условии).
Поэтому точка А может лежать только на построенной окружности. То есть вокруг АКМС можно описать окружность.
Если провести в четырехугольнике АКМС диагнонали АМ и КС, то
Угол ВКМ = угол КАМ + угол КМА = угол КСМ + КСА = угол ВСА (углы КАМ и КСМ - вписанные, опираются на дугу АК описанной окружности вокруг АКМС, то есть они равны, аналогично углы КМА и КСА вписанные, опираются на дугу КА, поэтому и они равны).
Теперь видно, что в треугольниках АВС и ВКМ угол В общий, а угол ВКМ = угол ВСА, то есть эти треугольники подобны.
При этому ВК (в тр-ке ВКМ) соответствует ВС (в тр-ке АВС), а ВМ соответствует АВ.
а) следует непосредственно из подобия треугольников АВС и ВКМ.
б) из условия следует, что площадь тр-ка ВКМ составляет 1/9 от площади тр-ка АВС. Поэтому соответственные стороны этих подобных треугольников отсносятся как 1/3. То есть АВ/ВМ = 3
В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах АВ и ВС отмечены точки K и L соответственно, ∠LAK = 5°, ∠LCK = 10°. Найдите ∠C
Другие вопросы из категории
а)сумма двух из них равно 50°.
б)разность 2 из них равна 40
1) А ∈ а, В∉α, С∈α, Д∉α
2) b∉α, b∈β
.
2.Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС (В и С - точки касания).Найдите периметр треугольника АВС,если ОА=10 см,а угол ВОС=60 градусов.
3.Из точки А к окружности с центром О проведена касательная АВ.найдите АО если радиус окружности 12,а угол АОВ=45 градусов.
Читайте также
треугольника AMN равна 21. Найдите площадь треугольника ABC.
16.Площади двух подобных многоугольников относятся как 16:49. Периметр большего
многоугольника равен 35. Найдите периметр мерьшего многоугольника.
17.Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке P. Площадь
треугольника APD равна 80.Найдите площадьтрапеции, если известно, что BC:AD=3:4.
18.В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB равна 20, основание AC равно 32.
Найдите tgA.
19.В треугольнике ABC: угол C равен 900
, BC=2, AC= 4 . Найдите cosB.
периметр треугольника BMK
2.Докажите, что медиана BM треугольника ABC делит пополам любой отрезок,параллельный AC,концы которого лежат на сторонах AB и BC