Статистика
Всего в нашей базе более 4 327 582 вопросов и 6 445 733 ответов!

Треугольник АВС - прямоугольный с прямым углом С. Биссектриса BL и медиана СМ пересекаются в точке К. Найдите отношение LK/BK, если известно, что МК/СК

5-9 класс

=5/6

Нютик1212 10 авг. 2016 г., 19:07:50 (6 лет назад)
Рейтинг
+ 0 -
0 Жалоба
+ 0 -
DIANA20151
10 авг. 2016 г., 20:26:40 (6 лет назад)

На первом вложенном файле приведено доказательство формулы длины биссектрисы 

l = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c); (здесь, и далее в таких случаях В - это угол АВС)

Эта формула нам понадобится. Второй вложенный файл - это чертеж к задаче.

  

По условию

5/6 = МК/СК = МВ/СВ = (АВ/ВС)/2; 

АВ/ВС = 10/6 = 5/3.

Поэтому треугольник "египетский", подобный (3,4,5).

Без ограничения общности принимаем длину меньшего катета ВС за 3, тогда АС = 4, АВ = 5; (это просто я выбрал единицу длины, отношение LK/BK от такого выбора не зависит, конечно же).

Используя формулу длины биссектрисы для равнобедренного треугольника ВМС (ВМ = МС = с/2, с - гипотенуза АВС, то есть с = АВ, и заодно a = BC, b = AC для краткости записи), получим

ВК = 2*a*(c/2)*cos(B/2)/(a + c/2) = 2*a*c*cos(B/2)/(2*a + c);

Аналогично для треугольника АВС

BL = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c);

Делим одно на другое, получаем

ВК/BL = (a + c)/(2*a + c);

Дальше - очень простые выкладки (я намеренно не подставляю числа)

ВК = BL*(a + c)/(2*a + c); KL = BL - BK = BL*(1 - (a + c)/(2*a + c)) = BL*a/(2*a + c);

KL/BK = a/(a + c); 

При а = 3; c = 5; KL/BK = 3/8;

 

Примечание. То, что треугольник "египетский", на решение совершенно не влияет. На самом деле существенно только то, что он прямоугольный, так как в этом случае СМ = с/2. 

В задаче задано отношение k = 5/6 = МК/СК = ВМ/BC = c/(2*a); то есть c/a = 2*k;

Далее в решении получено соотношение KL/BK = a/(a + c); легко привести это к виду

KL/BK = 1/(2*k + 1);

при к = 5/6; KL/BK = 1/(2*(5/6) + 1) =  1/(8/3) = 3/8; 

 

В качестве примера я возьму треугольник (5,12,13) - это тоже прямоугольный треугольник.  Я принимаю, что a = 5; (можно взять в качестве a другой катет, получится другой результат).

Тогда 2*k = 13/5; k = МК/СК = 13/10;

KL/BK = 1/(2*k + 1) = 1/(13/5 + 1) = 5/18;

Так что особенность тр-ка АВС в решении данной задачи никакой роли не играет - я получил общее решение для произвольного k = МК/СК.

 

 

 

Ответить

Читайте также

1)биссектрисы ad и bc треугольника abc пересекаются в точке o.Найдите угол AOB если угол AOB равен 140 градусам) 2)Периметр равнобедренного

треугольника равен 24 см.Один из его сторон равна 6 см.Найдите длину боковой стороны.

3)В треугольнике ABC на высоте BF отмечена точка О такая,что AO=OC.Найдите расстояние от точки Одо стороны BC.

4)В прямоугольной треугольнике ABC к гипотенузе AB проведена высота CD.НАйдите гипотенузу AB ,если ВС=6см,ВD=3см.

5)В треугольнике ABC биссектрисы внешних углов при вершинах B и А пересекаются в точке D.Найдите угол BCA если угол BDA=70 градусам.

6)В треугольнике ABC высота,проведенная из вершины В,пересекает сторону АС в точке D.Докажите,что АВ меньше СВ если угол CBD больше угла ABD.

Помогите решить плиииз! 1) В прямоугольном треугольнике АВС угол С - прямой, а угол А равен 45градусов, АВ=24см. Наййдите:а) АС; б) высоту СP

проведенную к гипотенузе.

2) В прямоугольном треугольнике АВС уголс С - прямой, К - середина АС, Н - середина ВС, КН = 14см, КНС = 60градусам. Найдите: а) стороны треугольника АВС и АН; б) площадь треугольника СКН...

Заранее большое спасибо, завтра просто тест будет и мне срочно надо получить на нем хорошую 4-5 оценку, как так был в больничке и пропустил эту тему(

1)Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C,отрезок CD, является его высотой.Докажите что у треугольника ABC и ACD углы соответственно равны.

2) Точки A и B лежат по разные стороны от прямой AM и BK перпендикулярны к этой прямой. Докажите что треугольник AMK равен треугольнику BKM если угол MAK= углу MBK
РИСУНОК к 3 задаче во вложениях!
3) Известно что KM=MP и PH=HT 1)Докажите,что угол MKP= углу PTH 2)Найдите углы треугольника PHT, если угол MKP= 50 градусов

треугольник АВС - прямоугольный

треугольник АВС - прямоугольный .(С=90градусов),угол А=33 градусов, СН-высота, СО-биссектриса угол АСВ. Найдите угол НСО.

Пожалуйста решите



Вы находитесь на странице вопроса "Треугольник АВС - прямоугольный с прямым углом С. Биссектриса BL и медиана СМ пересекаются в точке К. Найдите отношение LK/BK, если известно, что МК/СК", категории "геометрия". Данный вопрос относится к разделу "5-9" классов. Здесь вы сможете получить ответ, а также обсудить вопрос с посетителями сайта. Автоматический умный поиск поможет найти похожие вопросы в категории "геометрия". Если ваш вопрос отличается или ответы не подходят, вы можете задать новый вопрос, воспользовавшись кнопкой в верхней части сайта.