боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно а,угол между боковыми гранями равен 2φ.найдите длину стороны основания.
10-11 класс
|
Пусть пирамида имеет вершину S и в основании треугольник АВС.
Для простоты обозначим неизвестную сторону основания х.
Из точек С и В проведём к ребру АS перпендикуляры. В силу того, что грани АSC и АSВ одинаковы, эти перпендикуляры придут в одну точку К на ребре АS. Эти перпендикуляры равны: СК = ВК. Следовательно, треугольник СКВ - равнобедренный.
Мерой двугранного угла, образованного двумя боковыми гранями АSC и АSВ является линейный угол СКВ. Итак, уг. СКВ = 2φ
Из вершины К тр-ка СКВ опустим высоту КД(она же медиана, она же биссектриса) на сторону ВС.
В прямоугольном тр-ке СКД уг.СКД = φ. Половина СД стороны основания ВС равна = 0,5х или
0,5х = СK·sinφ.
В тр-ке АSC, являющемся боковой гранью, высоту СК можно найти из площади
S = 1/2 CK· AS
или поскольку ребро AS = a, то
S = 1/2 CK· а, откуда
СК = 2S/а.
Для другой боковой грани - тр-ка BSC, равного тр-ку АSC та же площадь
S = 1/2 SД· ВС или
S = 0,5 SД· х.
Из тр-ка СSД найдём SД
SД² = SC² - CД² или
SД² =а² - (0,5х)²
SД =√(а² - (0,5х)²)
Теперь пошли обратно по "жирной" цепочке
Подставим SД в S = 1/2 SД· х и получим
S = 0,5 √(а² - (0,5х)²)· х
S подставим в СК = 2S/а. Получим
СК = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)
Наконец, подставим СК в 0,5х = СK·sinφ.
0,5х = [√(а² - (0,5х)²)· х/а]·sinφ.
Преобразуем и найдём х
х/(2sinφ) = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)
1/(2sinφ) = (1/а)·√(а² - (0,5х)²)
а = 2sinφ·√(а² - (0,5х)²)
а² = 4sin²φ·(а² - (0,5х)²
а² = sin²φ·(4а² - х²)
а² - 4а² ·sin²φ·= - х²·sin²φ
а²(4sin²φ - 1) = х²·sin²φ
х = [а·√(4sin²φ - 1)]/sinφ - это и есть длина стороны основания
Другие вопросы из категории
ребро AA1 и вершину C.
площадь трапеции.ЗАРАНЕЕ СПАСИБО.))
Читайте также
2)Основание пирамиды -прямоугольный треугольник , катет которого равен 20м,а гипотенуза 25м ,высота 10м.Найдите объем пирамиды. 3)Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см,а апофема образует с высотой угол 45 градусов. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 4)Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равна 4 корень из 3и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.Найдите площадь боковой поверхности. 5)В правильной четырехугольной пирамиде MABCD площадь ее основания ABCD равна 32 см ^2, а лощадь треугольника МАС равна 16 см^2.Найдите плоский угол при вершине пирамиды.
иды Б.угол между боковым ребром и плоскостью основания В.площадь боковой поверхности пирамиды Г.площадь полной поверхности пирамиды
правильной четырехугольной пирамиды равна 4. Боковое ребро равно 5. Найти диагональ основания пирамиды.
окружности описанной около основания пирамиды
2.сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 корней из 3. боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60
найти длину высоты пирамиды
поверхности пирамиды.
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45⁰. Найти высоту пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.