Бисектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, длинной 75см и 100см. На какие отрезки поделит гипотенузу высота этого треугольника

+ 0 -

Altanzuchi

27 сент. 2016 г., 22:24:06 (7 лет назад)

"Нестандартное" решение. Но зато понятное.

a, b, c - стороны треугольника, h - высота к гипотенузе, x и y - отрезки гипотенузы, на которые её делит высота (x имеет общий конец с а)

Ясно (по свойству биссектрисы), что a/b = 75/100 = 3/4; то есть треугольник подобен "египетскому" треугольнику со сторонами 3,4,5.

Поскольку c = 100 + 75 = 175; то коэффициент подобия равен 175/5 = 35; 

Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему же подобных, поэтому

x/a = a/c; x = a^2/c; y = b^2/c; или просто y = c - x;

В "египетском" треугольнике 3,4,5  x = 9/5; y = 16/5, а  в подобном ему - заданном в задаче треугольнике все размеры в 35 раз больше, поэтому 

Ответ: x = 35*9/5 = 63; y = 35*16/5 = 112.

(Конечно, x  + y = c = 175 = 5*35; а = 3*35 = 105, b = 4*35 = 140; в "египетском" треугольнике 3,4,5 высота равна 3*4/5 = 2,4; а в заданном h = 2,4*35 = 84; всё это в решении не пригождается - просто для полноты информации)

+ 0 -

FaTaL1337

28 сент. 2016 г., 0:05:00 (7 лет назад)

использовано свойство биссектрисы, признак подобия треугольников, пропорциональность сходственных сторон