Abcda1b1c1d1 усеченная пирамида ее основаниями является равнобедренные трапеции, с онованиями ad bc и a1d1 b1c1 и острым углом 30 ab8 a1b1=4 боковые грани

+ 0 -

Isaikina

17 марта 2015 г., 14:16:31 (9 лет назад)

Объем усеченной пирамиды равен 7/8 от объема полной пирамиды, которая получается продолжением боковых ребер до пересечения. Дело в том, что "усечение" произведено через средние линии боковых граней (поскольку a1b1 = ab/2), поэтому отношение линейных размеров полной и "отсеченной" (отрезанной при усечении) пирамид равно 2/1, поэтому объемы их относятся как 8/1, поэтому объем их разности равен 7/8 от полной пирамиды (1/8 отрезали, 7/8 осталось).

Итак, надо найти объем полной (обычной, не усеченной) пирамиды с тем же основанием (равнобедренная трапеция, остый угол 30 градусов, боковая сторона 8). 

Все грани имеют одинаковый наклон к основанию, это означает, что высота пирамиды (полной!) "видна" из основания апофемы под углов 45 градусов, и это справедливо для любой грани. Поэтому все апофемы равны между собой, и - что гораздо важнее - равны их проекции на основание. В данном случае апофема, её проекция и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник с углом 45 градусов, то есть - равнобедренный. То есть проекция апофемы равна высоте пирамиды. Но и это не всё - проекция вершины пирамиды равноудалена от сторон основания (все проекции апофем перпендикулярны боковым сторонам трапеции), поэтому в основание можно вписать окружность, и радиус этой окружности равен высоте пирамиды.

Таким образом, задача свелась к нахождению радиуса вписанной окружности в трапецию, лежащую в основании и площади основания.

Поскольку угол трапеции 30 градусов, а 2*r - высота (окружность касается параллельных оснований, поэтому расстояние между ними равно диаметру окружности), то боковые стороны трапеции равны 4*r (потому что sin(30) = 1/2), и полупериметр 8*r (сумма оснований равна сумме боковых сторон, по свойству описанных четырехугольников) :))) Площадь трапеции в основании пирамиды 8*r^2, а объем усеченной пирамиды

V = (7/8)*8*r^3/3 = (7/3)*r^3; остается подставить 4*r = 8, и сразу получается ответ :)

V = 56/3