Длина ребра правильного тетраэдра АВСД равна 1 см. Найдите угол между прямыми ДМ и СК, где М- середина ребра ВС , К- середина ребра АВ.
10-11 класс
|
вооо вложениях посмотри .....................................................................................
Прямой способ решения такой
Пусть точка Р - середина КВ, то есть ВР = КP = 1/4; тогда МР II CK и МР = СК/2. Из прямоугольного треугольника DKP с катетами DK = √3/2 и КР = 1/4 находится DP (нужен только квадрат DP^2 = DK^2 + KP^2). В треугольнике DPM две другие стороны DM = √3/2, МР = √3/4; отсюда по теореме косинусов (x - КОСИНУС искомого угла DMP)
DK^2 + KP^2 = DM^2 + MP^2 - 2*DM*MP*x;
1/16 = 3/16 - 2*(√3/2)*(√3/4)*x;
x = 1/6;
Ответ arccos(1/6);
Есть такой интересный способ.
Если взять куб ABCDA1B1C1D1, то фигура с вершинами A1BC1D - правильный тетраэдр. Если обозначить М - центр грани куба ABCD, К - центр грани BCC1B1, то прямые DK и A1M - и есть нужные прямые.
Углы не зависят от масштаба, есть принять сторону куба за 1
и i j k - единичные вектора i = AB; j = AD; k = AA1;
то
вектор MA1 = -i/2 - j/2 + k;
вектор DK = -i/2 + j + k/2;
их скалярное произведение равно 1/4 - 1/2 + 1/2 = 1/4,
а произведение модулей (у них модули равны) (1/2)^2 + 1^2 + (1/2)^2 = 6/4,
откуда косинус угла 1/6.
Другие вопросы из категории
пирамиды и куба?
Читайте также
2)Основание пирамиды -прямоугольный треугольник , катет которого равен 20м,а гипотенуза 25м ,высота 10м.Найдите объем пирамиды. 3)Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см,а апофема образует с высотой угол 45 градусов. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 4)Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равна 4 корень из 3и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.Найдите площадь боковой поверхности. 5)В правильной четырехугольной пирамиде MABCD площадь ее основания ABCD равна 32 см ^2, а лощадь треугольника МАС равна 16 см^2.Найдите плоский угол при вершине пирамиды.
2.abca1b1c1 правильная призма ab=4, aa1=6. найдите угол между B1A и плоскостью BCC1
3.abca1b1c1 правильная призма ab=4, aa1=6. найдите угол между B1M и плоскостью ABC, где т. М- середина AC
б) В тетраэдре ребро равно 6 см. Найдите высоту тетраэдра.
в) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда см и 7 см, угол между ними равен 1350, боковое ребро равно 12 см. Найдите меньшую диагональ параллелепипеда.
г) Диагональ куба равна 20 см. найдите его объём.
д) Ребро тетраэдра равно 2 см. Найдите объём.
е) Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы 648 см2, диагональ боковой грани 15 см. Найдите сторону основания.
ж) В правильной четырёхугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 300. Сторона основания пирамиды равна 12 см. найдите площадь поверхности пирамиды.
Ужас помогите ) Буду очень благодарен
поверхности пирамиды.
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45⁰. Найти высоту пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.