Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, причем АС – биссектриса угла DAB. Докажите, что АСхBD=ADхDC+ABхBC.

+ 0 -

АЛИНКАА

03 дек. 2014 г., 8:25:53 (9 лет назад)

Вот ничего задачка, "пятиминутка" :) (в смысле, что для решения надо потратить сколько то времени, ну хоть 5 минут)

Пусть М - точка пересечения диагоналей.

Угол ВМА = угол CAD + угол BDA;

угол САD = угол САВ (АС - биссектриса);

угол САВ = угол CDB;

поэтому угол ВМА = угол CDA;

Конечно, угол СВА = 180 - угол CDA = угол DMA;

если сумма углов 180 градусов, то синусы у них равны.

Осталось выразить площадь четырехугольника через диагонали

S = BD*AC*sin(Ф)/2 (Ф = угол ВМА = угол CDA = 180 - угол СВА = 180 - угол DMA) - это легко получить,  просто сложив (MD*AM + MB*AM + MB*MC + MC*MD)*sin(Ф)/2;

и - то же самое - через стороны четырехугольника

S = (CD*AD + AB*BC)*sin(Ф)/2; 

отсюда сразу получается нужное соотношение.