1)Две прямые параллельны некоторой плоскости.Могут ли эти прямые:а)Пересекаться;б)быть скрещивающимися? 2)Могут ли скрещиваться прямые a и b

+ 0 -

ALEX23141

04 февр. 2015 г., 23:17:57 (9 лет назад)

1) Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые:

а) Пересекаться - Да

б) быть скрещивающимися - Да

Определение 2.1.  Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a || b. В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.

Определение 2.2. Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися.

Теорема 2.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство

Пусть A  a (чертеж 2.1.1). Прямая a и точка A определяют единственную плоскость α. В этой плоскости проведем через точку A прямую b, параллельную прямой a. Если существует еще одна прямая c, параллельная a и проходящая через точку A, то по определению параллельных прямых c и a определяют некоторую плоскость. Эта плоскость содержит прямую a и точку A, то есть совпадает с плоскостью α. Следовательно, в плоскости α через точку A проходят две прямые, параллельные прямой a, что противоречит аксиоме о параллельных прямых в планиметрии.

Замечание. Согласно определению, две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Легко заметить, что через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Теорема 2.2. Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.

Доказательство

Пусть a  α, b  α = A, A  a (чертеж 2.1.2). Допустим, что прямые a и b не скрещивающиеся, то есть они пересекаются. Тогда существует плоскость β, которой принадлежат прямые a и b. В этой плоскости β лежат прямая a и точка A. Поскольку прямая a и точка A вне ее определяют единственную плоскость, то β = α. Но b  β и b α, следовательно, равенство β = α невозможно.

2) Могут ли скрещиваться прямые a и b быть параллельными прямой с?

По отдельности – да, вместе нет (если так, то a || b, а они, по ус-

ловию, скрещивающиеся).

3) Боковые стороны трапеции параллельны плоскости альфа. Параллельны ли плоскость альфа и плоскость трапеции?

Да. Боковые стороны пересекаются, а через две пересекающиеся

прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Раз каждая боковая сторона параллельна пл. α,  то и плоскость

трапеции будет параллельна пл. α (по известному признаку).

4) Две стороны параллелограмма параллельны плоскости альфа. Параллельны ли плоскость альфа и плоскость параллелограмма?

Да.

АВ || α; DC || α, но пл. ABCD не параллельна α.

Ответ: Не обязательно (возможны оба случая).

5) Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключённые между параллельными плоскостями?

Да. Например, здесь ABCD – равнобедренная трапеция