через середину К медианы ВМ треугольника АВС через вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС в точке П . Найдите отношение площади
5-9 класс
|
четырехугольника КПСМ и треугольника АМК.
Смысл таких задач всегда одинаковый - надо найти, в какой пропорции точка К делит АР, а точка Р - сторону ВС. Оказывается, чтобы это определить, достаточно условий, что ВМ - медиана и К - её середина. Как будет видно дальше, в этой задаче достаточно найти КР/АК;
Пусть MN II BC, и точка N лежит на АР. Тогда треугольники MNK и BKP равны, так как ВК = КМ, и углы при этих сторонах равны. то есть NK = KP. При этом AN = NP, то есть КР = ВР/4, а AK = BP*3/4; и КР/АК = 1/3;
Этого уже достаточно, чтбы решить задачу. Дело в том, что отрезок СК делит треугольник АСР на два треугольника АКС и СКР, отношение площадей их равно 3 (у них высота общая - расстояние от С до АР, поэтому площади относятся, как АК/КР). При этом отрезок КМ делит треугольник АКС на два, равных по площади, так как М - середина ВС.
То есть если площадь СКР = s, то площадь АКС равна 3s, площади АКМ и КМС равны 3s/2, площадь КPСM равна s + 3s/2 = 5s/2;
и отношение площади KPCM к площади АМК = 5/3; задача решена.
Теперь пусть PQ II BC, Q лежит на ВМ. Тогда треугольник PQK подобен треугольнику ВМК. QK/KM = КР/АК = 1/3; QK = KM/3 = ВМ/6; QM = BM*(1/2 + 1/6) = BM*2/3; То есть BQ = BM/3, и, соответственно, ВР = ВС/3;
отсюда следует, что площади треугольников АРВ и АРС относятся, как 1/2. Это не имеет прямого отношения к задаче, но - если очень хочется - позволяет найти площади всех треугольников АВК, ВКР, АКМ и четырехугольника КРСМ по отношению к площади АВС. Можете сами попробовать :)
Другие вопросы из категории
2)48
3)34
4)12
сторону правильного треугольника,вписанного в данную окружность.РЕШЕНИЕ:Так как периметр Р квадрата равен 28(корень)2 см,то его сторона а4=_______см и радиус описанной окружности R=а4 : ___=____________=____см.Следовательно,сторона правильного вписанного треугольника а3=2R * _____=_______см.
Читайте также
прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади
треугольника ВКР к площади треугольника АМК.
2)Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая пересекающая сторону BC в точке P.Найдите отношения площади треугольника BKP к площади треугольника AMK
3)В трапеции MPRE точка A принадлежит большему основанию ME,AM=MP=a,AE=EK.Найдите площадь трапеции если её диагонали проходят через точку пересечения медиа треугольника PAK.
площади четырехугольника kpcm
Найти отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АМК.
проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АМК