Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника

+ 0 -

Olegdelon1979

02 июня 2014 г., 15:29:51 (9 лет назад)

Тогда будет долго.

Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е. Это правильный способ доказательства для данной задачи.
Итак, ВЕ II AC;
Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы ВКЕ и АКМ равны как вертикальные), поэтому из подобия имеем следующие отношения соответствующих сторон: ЕВ/АМ = ВК/КМ; у нас ВК=КМ (дано), значит ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ;
Отсюда ЕВ = АС/2; (так как ВМ - медиана и АМ=0,5АС)
Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку (углы ВPE и АКМ равны как вертикальные), поэтому ВР/РС = ЕВ/АС = 1/2 (так как ЕВ = 1/2*АС); Отсюда РС = 2ВР.

То есть ВС равна ВР+2ВР = 3ВР или ВС разделена точкой Р на части 1/3 и 2/3.
Итак, СР = ВС*2/3. Площадь треугольника АСР равна площади треугольника АВС минус площадь треугольника АВР. По известной формуле S=1/2*BC*h имеем площадь тр-ка АВС. Заметим, что у тр-ков АВС, АВР и АРС высота h, проведенная к основанию ВС (ВР,РС) одна и та же, можем сказать что их площади относятся, как их основания, то есть 1:1/3:2/3. Тогда Sacp = S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).
Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ (из свойства медианы тр-ка, которая делит тр-к на два равных), то
Sakm = 1/2(Sabm) = 1/2[1/2(Sabm)] = 1/4(Sabm) = S/4, где S - площадь тр-ка АВС ;
Площадь четырехугольника КРСМ равна площади треугольника ACP минус площадь тр-ка AKM. подставляем известные нам величины и получим: 2/3(Sabc) - 1/4(Sabm) = 5/12(Sabm).
Ну и отношение Sabk/Skpcm = 1/4:5/12 = 3/5. (помните, что  Sabk = Sakm по свойству медианы АК тр-ка АВМ, которая делит тр-к на два равных)