В шар радиусом корень из 11 вписана правильная треугольная призма abca1b1c1. Прямая ab1 образует с плоскостью acc1 угол 45 найдите объем призмы
10-11 класс
|
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
Плоскость acc1 - это плоскость грани aa1c1c. Чтобы найти угол между прямой ab1 и плоскостью aa1c1c, надо из точки b1 опустить перпендикуляр b1h1 на эту плоскость (заметим, что этот перпендикуляр - высота равностороннего треугольника - основания призмы). Угол b1ah1 и будет искомым углом, который равен 45 градусам (дано).
Тогда в прямоугольном треугольнике ah1b1 катеты равны (<b1ah1=45°),то есть ah1=h1b1. Но h1b1 - высота равностороннего треугольника (основания призмы) со стороной а. По формуле эта высота равна (√3/2)*а. Тогда из прямоугольного треугольника аh1h по Пифагору найдем hh1 (заметим, что это высота призмы): hh1=√(ah1²-ah²) = √(3a²/4-a²/4) = a*√2/2 ( ah=0,5ac - половине стороны основания). рассмотрим прямоугольный треугольник ob1b2. ob1 - радиус шара, оb2 = (2/3)*h1b1 (так как высота в равностороннем треугольнике делится центром описанной окружности в отношении 2:1, считая от вершины), а b1b2 - половина высоты призмы. Подставим имеющиеся значения в формулу Пифагора: ob1²=ob2²+b1b2² и получим: 11= [(2/3)*(√3/2)*а]² + (a*√2/4)² или 11=(11/24)*а², откуда а=2*√6.
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы. Площадь основания (равностороннего треугольника) равна а²√ 3/4, высота равна a*√2/2. Итак, V = (а²√ 3/4)*(a*√2/2) = a³√6/8. Подставляем значение а=2√6 и получаем: V=[(2√6)*(2√6)*(2√6)]*(√6/8) = 36.
Ответ: Объем призмы равен 36.
Другие вопросы из категории
параллелепипеда.
проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?
плоскостью его основания.
Диагональ- В1D
угол-BDB1
Читайте также
см. Вычислите объем пирамиды, если боковые грани образуют с плоскостью основания угол 45 градусов.
2. Объем конуса = 18см3. Чему равна высота конуса, если площадь его основы равна 6 см2?
3. Радиус одного шара в два раза больший за радиус второго шара. Чему равен объем шара большего радиуса, если объем шара меньшего радиуса = 1см3?
диагональю призмы и плоскостью боковой грани 3)площадь боковой поверхности призмы 4)площадь сечения призмы плоскостью,проходящей через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания.
буду юлагодарен.