В правильной четырёхугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности

+ 0 -

Оползень

25 авг. 2013 г., 0:21:09 (10 лет назад)

Полная площадь четырехугольной пирамиды состоит из площади основания и площади четырех граней. 
Площадь грани равна половине произведения апофемы на сторону основания. 
Площадь основания - квадрат его стороны.
Для решения задачи нужно найти сторону основания и апофему.

Сделаем рисунок, он несложный. 
Обозначим вершины основания АВСD, вершину пирамиды М,  высоту пирамиды МО, апофему - МН.
Рассмотрим треугольник МНО. 
Он прямоугольный, образован высотой МО пирамиды, апофемой МН и катетом ОН, равным половине стороны основания, т.к. основание О высоты МО правильной четрехугольной пирамиды находится в центре вписанной окружности основания. Радиус ОН вписанной в квадрат окружности  равен половине стороны этого  квадрата и является проекцией апофемы.  
Гипотенуза МН равна высоте МО, деленной на синус 60°. 
МН=МО:sin(60°)=6:{(√3):2}=4√3 
ОН=МН*sin(30°)=4√3*1/2=2√3  
АВ=2*2√3=4√3 
Площадь основания пирамиды равна АВ²=(4√3)²=48 см² 
S(АМВ)=МН*АВ:2=(4√3*4√3):2=24 см² 
S бок=24*4=96 см² 
Sполн=S бок+АВ²=48+96=144 см² 
( Несколько раз пыталась приложить рисунок - не загружается. Но по описанию сделать его не будет трудно). BZS@