Найдите среднюю линию трапеции ABCD с боковыми сторонами AB=CD=5, если окружность, имеющая центр в точке O и диаметр, равный 3, касается прямых,
10-11 класс
|
содержащих AD, BC и CD, а площадь треугольника ABO равна 20,25.
1.Пусть MN - средняя линяя, M лежит на АB, N - на CD. Ясно, что точка О лежит на MN, так как она равноудалена от AD и BC;
2.Пусть ОК перпендикулярно АВ. Ясно, что ОК = 2*20,25/5 = 8,1;
3.Пусть ОР перпендикулярно CD. Ясно, что ОР = r = d/2 = 1,5 (радиус окружности);
4.Пусть СН - высота трапеции ABCD к AD. Ясно, что СН = d = 3;
Вот, теперь можно приступить к решению :)
Треугольник CHD - прямоугольный с катетом CH = 3 и гипотенузой CD = 5, то есть это "египетский" треугольник, что очень упрощает расчеты. Ясно, что HD = 4; (в решении это не пригодится).
В прямоугольном треугольнике PON угол PON равен углу HCD, поскольку ON перпендикулярно CH и OP перпендикулярно CD, поэтому треугольник PON подобен CHD, то есть это тоже "египетский" треугольник, и ON/PO = CD/CH = 5/3; ясно, что ON = 5*1,5/3 = 2,5;
В прямоугольном треугольнике KOM угол KOM равен углу PON,просто потому, что трапеция ABCD равнобедренная и углы при основаниях у неё равны (можно так же провести высоту из В на AD и увидеть равенство угла KOM и угла между высотой и AB, а этот угол очевидно равен углу CHD - это тупой угол при малом основании МИНУС 90 градусов, и угол CHD - тоже). Поэтому треугольник KOM тоже подобен CHD, то есть это тоже "египетский" треугольник, и MO/OK = CD/CH = 5/3; ясно, что ON = 5*8,1/3 = 13,5;
Средняя линяя MN = MO + ON = 13,5 + 2,5 = 16.
Сразу объясняю, что даю не решение, а рисунок к решению в предыдущем ответе. На пункты не претендую. Рисунок - в дополнение к решению и объяснению cos20093.
Другие вопросы из категории
а AN:NC=8:17. На сколько длинна отрезка АМ меньше длинны отрезка AB
1) 2:3 2)2:7 3)7:29 4) 11:34
4 √7 см, МС = 13 см, МВ = 5 см. Ребят, с рисунком, пожалуйста :)
Читайте также
точки А и В. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до этой прямой, если данные точки удалены от нее на 9 см и 6 см.
3) Найдите среднюю линию равнобедренной трапеции, высота которой равна 8 см и образует с диагональю уго 45 градусов.
Громадное спасибо! Очень большие надежды на Вас!
2) В равнобедренном треугольнике abc c основанием ac боковая сторона ab равна 16, а высота, проведенная к основанию, равна 4(корень из 15). Найдите cos углаA
Часть решения:
P=a+b+2c
Средняя линия = полусумме оснований
=> сумма оснований = (6+12)*2=36
a+b=36
Теперь нужно найти 2c - равные боковые стороны трапеции
ке К. Найдите FK, если средняя линия трапеции равна 19, а боковые стороны равны 13 и 15.