Желтый треугольник является подмножеством синего (то есть лежит внутри синего треугольника )Докажите , что синий имеет периметр больший периметра желтого

10-11 класс

треугольника. Доказательство должно быть строгим ,а не не интуитивном уровне.

Прикрепленные изображения

Zhenya199927 01 мая 2013 г., 13:31:12 (11 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Amamamamm

01 мая 2013 г., 14:30:42 (11 лет назад)

Попробуем так ,начертим как на рисунке. Положим что это верно , то есть
$x_{1}+x_{2}+x_{3}<a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}$
Положим что периметр меньшего треугольник равен $n$ , тогда
очевидно что $n<n+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}+x_{11}+x_{12}$
Так же из неравенства треугольников следует что
$a_{1}<x_{5}+x_{3}+x_{2}+x_{6}\\a_{3}<x_{7}+x_{1}+x_{3}+x_{8}\\a_{2}<x_{4}+x_{1}+x_{2}+x_{9}$

Сложим
$2a_{1}+2a_{2}+2a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}>n+$ $x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}$
С учетом того что мы положили следует что
$a_{1}+a_{2}+a_{3}>x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9$
и так как $x_{10}+x_{11}+x_{12}<a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}$ (следует так же из неравенств треугольников)
из двойного неравенства
$n<n+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}+x_{11}+x_{12}$
$<a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}$
то есть
$n<a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}$
что верно

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Nazarovagulnaz

01 мая 2013 г., 16:44:36 (11 лет назад)

Задача олимпиадной не является. Она собственного авторства.

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Artemkalal

01 мая 2013 г., 17:57:24 (11 лет назад)

Обратное утверждение:Если периметр одного больше периметра другого,то он помещается внутри синего треугольника : неверно

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Vi160201

01 мая 2013 г., 20:28:39 (11 лет назад)

Используя похожий метод это можно доказать для многоугольников ,если они выпуклые .

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

Ответить

Другие вопросы из категории

7662444 / 01 мая 2013 г., 6:20:56

Помогитк вопрос жизни и 2-ки за четверть) Из точки к плоскости проведены 2 наклонные, равные 23 см и 33 см,Найдите растояние от этой точки до

плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3