В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны 5 см, угол ABC равен 36 градусов. Биссектриса CD треугольника равна 3 см. Найдите
5-9 класс
|
отношение площади треугольника DBC к площади треугольника ABC.
Попробуем выразить площадь треугольника DBC.
Для начала найдем углы при основании равнобедренного треугольника
угол A=углу С= (180-36)/2=72(по теореме о сумме углов треугольника)
Найдем угол DBC :Т.к CD - биссектриса ,то угол угла С = 36
Найдем отношение площади треугольника DBC к площади треугольника ABC.
Этот ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ треугольник обладает удивительным свойством - биссектриса CD делит его на два равнобедренных треугольника.
В самом деле, угол ВСА = (180 - 36)/2 = 72 градуса = угол ВАС, => угол BCD = 72/2 = 36 градусов, и => СD = BD = 3. На самом деле задача УЖЕ РЕШЕНА - отношение равно 3/5 - это отношение BD/AB. В самом деле, если обозначить расстояние от точки С до АВ, как h, то Sabc = AB*h/2, Sdbc = BD*h/2, Sdbc/Sabc = BD/AB = 3/5.
Но для полноты картины заметим, что угол CDA = угол САВ + угол BCD = 72 градуса = угол САВ, поэтому CD = AC = 3, то есть нам известны все стороны треугольника АВС :) - это 5, 5 и 3.
В результате мы получаем, что 3/5 = 2/3, что НЕВОЗМОЖНО. ПОЭТОМУ такого треугольника, как указано в задаче, НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Размеры 5 и 3 противоречат условию, что угол при вершине - 36 градусов. :))))))))))))))))
Поэтому сделаем так - если задана боковая сторона 5, и угол при вершине 36 градусов, сосчитаем величину основания AC, биссектрисы CD и отрезка BD, которые РАВНЫ между собой. Обозначим CD = x. По свойству биссектрисы имеем
x/5 = (5-x)/x; x^2 + 5*x - 25 = 0; Отсюда х = 5*(корень(5) - 1)/2.
Именно такова длина биссектрисы CD в ПРАВИЛЬНОМ условии. И отношение Sdbc/Sabc = BD/AB в реальности равно (корень(5) - 1)/2;
Справедливости ради стоит отметить, что 5*(корень(5) - 1)/2 примерно равно 3,09016994374947, то есть не сильно отличается от 3. Почти как в старом грузинском анекдоте ("ну, 2х2 где-то 7 или 8, но не 49 же")
Другие вопросы из категории
градусов. Прошу решение поподробнее.
Читайте также
треугольника AMN равна 21. Найдите площадь треугольника ABC.
16.Площади двух подобных многоугольников относятся как 16:49. Периметр большего
многоугольника равен 35. Найдите периметр мерьшего многоугольника.
17.Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке P. Площадь
треугольника APD равна 80.Найдите площадьтрапеции, если известно, что BC:AD=3:4.
18.В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB равна 20, основание AC равно 32.
Найдите tgA.
19.В треугольнике ABC: угол C равен 900
, BC=2, AC= 4 . Найдите cosB.
2.)В треугольнике ABC медиана BD является биссектрисой треугольника. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника ABD равен 16см, а медиана BD равна 5см.
3.)Определите вид треугольника, если одна его сторона равна 5см, а другая -
3см, а периметр равен 7см.
4.)Отрезок AK - высота равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию BC. Найдите углы BAK и BKA, если угол BAC=46 градусов.
5.)Треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC. Определите угол 2, если угол 1 - 68 градусов.
6.)В треугольнике ABC проведена медиана СМ. Известно, что СМ = МВ, угол MAC = 53 градуса, угол MBC = 37градусов. Найдите угол АСВ.
7.)Определите вид треугольника, две высоты которого лежал вне треугольника, и сделайте рисунок, если такой треугольник существует.
8.)Медиана BM треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите АВ, если АС = 12 см.
серединой боковой стороны AB, проведен перпендикуляр. Этот перпендикуляр пересекает сторону BC в точке E. Периметр треугольника AEC равен 26,9 дм. Найдите сторогу AC/
2.Докажите, что медиана BM треугольника ABC делит пополам любой отрезок,параллельный AC,концы которого лежат на сторонах AB и BC
=45, угл C=55, сторона AC является наименьшей.
3) Если все стороны треугольника меньше 1, то и все его высоты меньше 1.
4) В треугольнике ABC, для которого AB=8, BC=6, AC=4, угол A является наибольшим