Очень нужна помощь! Заранее спасибо.Кто ответит, тому 112 баллов.

5-9 класс

Внутри треугольника ABC взята точка M, через которую проведены прямые, параллельные всем его сторонам. Площади трех образовавшихся треугольников с общей вершиной M равны S1, S2, S3. Найдите площадь треугольника ABC.

Lovofak 24 февр. 2015 г., 6:52:23 (9 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

катякатюха

24 февр. 2015 г., 9:23:31 (9 лет назад)

Благодаря параллельности прямых, все образовавшиеся треугольники подобны друг другу и исходному ΔАВС (по трём углам).
Обозначим стороны получившихся треугольников, параллельные стороне АС как a, b и с, их площади как S₁, S₂ и S₃ (см. рис. в прикреплённом файле).
Площадь S ΔАВС относится к площади S₁ подобного треугольника, как квадрат отношения соответствующих сторон:
$\frac{S}{ S_{1}}$ = $(\frac{b+a+c}{a})^{2}$ = $(1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a})^{2}$ (1)
Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно корню квадратному из отношений их площадей:
$\frac{b}{a}$ = $\sqrt{ \frac{S_{2}}{S_{1}}}$ (2)
$\frac{c}{a}$ = $\sqrt{ \frac{S_{3}}{S_{1}}}$ (3)
Подставляем (2) и (3) в (1):
$\frac{S}{ S_{1}}$ = $(1 +\sqrt{ \frac{S_{2}}{S_{1}}}+\sqrt{ \frac{S_{3}}{S_{1}}})^{2}$ = $\frac{(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}})^{2}}{S_{1}}$
Откуда окончательно получаем:
S = $(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}})^{2}}$