Объем правильной треугольной пирамиды равен V, а острый угол между высотой и прямой, перпендикулярной боковой грани, равен β. Найти площадь
10-11 класс
|
основания пирамиды.
Дана пирамида МАВС, Δ АВС- правильный: АВ=ВС=АС.
Пусть АВ=ВС=АС=а,
Площадь равностороннего треугольника S=1/2·a·а·sin 60⁰=a²√3/4
МО- высота пирамиды, O- центр описанной окружности.
В равностороннем треугольнике центр описанной и центр вписанной окружности совпадают, поэтому ВО=R, OK=r
Так как S=p·r, выразим r через а:
r=a²√3/4 : (а+а+а)/2=а²√3/6.
Проведем апофему МК. МК перпендикулярна АС по теореме о треёх перпендикулярах, так как ОК перпендикуляр к АС.
Рассмотрим прямоугольный треугольник МОК, проведем перпендикуляр ОЕ.
Угол МОЕ=β. Треугольники МОЕ и МОК - прямоугольные, угол ОМК -общий. Значит треугольники подобны по двум углам.
Угол ОКМ =β, tg OKM=MO/OK
MO=OK·tgβ=a√3·tgβ/6
Тогда объём пирамиды
V=1/3· S·MO=1/3 · a²√3/4 · а√3 ·tg β/6=a³·tgβ /24
Так как V известен, то выразим а через V и tg β
a=∛(24·V/ tgβ)
Подставим найденное значение а в выражение площади через сторону а:
S=a²√3/4=∛(24·V/tgβ)² ·√3/4, так как ∛(24)²=4·∛9, то ответ упрощается;
S=√3·∛9V²/tg²β
Другие вопросы из категории
Точка P принадлежит ребру bb1, причем pb1 = 3pb. найдите тангенс угла между плоскостями acp и acc1
1:1:2.Найдите:а)измерения параллелепипеда;б)синус угла между диагональю параллепипеда и плоскостью его основания.Помогите пожалуйста завтра сдавать)
Читайте также
2) радиус окружности, вписанной в основание правильной шестиугольной пирамиды, равен 6, а длина бокового ребра пирамиды равна 7. найдите высоту пирамиды.
2)Основание пирамиды -прямоугольный треугольник , катет которого равен 20м,а гипотенуза 25м ,высота 10м.Найдите объем пирамиды. 3)Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см,а апофема образует с высотой угол 45 градусов. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 4)Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равна 4 корень из 3и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.Найдите площадь боковой поверхности. 5)В правильной четырехугольной пирамиде MABCD площадь ее основания ABCD равна 32 см ^2, а лощадь треугольника МАС равна 16 см^2.Найдите плоский угол при вершине пирамиды.
3)основание прямой призмы- правильный треугольник со стороной 6 см. найдите Sбок, если высота призмы 5 см 4)найдите Sполн правильной треугольной пирамиды, если её боковое ребро 12 см, а ребро основания 16 см
2. Дано: DABC – правильная треугольная пирамида, O – центр вписанного шара, M – точка касания вписанного шара, DM = KO1. Найдите угол KDO1.
3. Дано: DABC – правильная треугольная пирамида, O – центр вписанного шара, M – точка касания вписанного шара, MK = 2. Найдите периметр ABC.
2)В правильной треугольной пирамиде SABC M-середина ребра AB,S-вершина.Известно,что BC=4,а площадь боковой поверхности равна 174.Найдите длину отрезка SM
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ПОЖАЛУЙСТА.В ГД3 нет такого.