сервис вопросов и ответов1)Периметр треугольника АБС равен 18, его углы А и Б связаны соотношением: 2(сosА + cosБ) = 3+2cos(А+Б).
10-11 класс|
|
Найти площадь треугольника, стороны которого равны биссектрисам треугольника АБС.
Krytafill
30 июня 2015 г., 9:41:51 (8 лет назад)
Rustammerhaida
30 июня 2015 г., 12:38:44 (8 лет назад)
A + B = 180° – C,
cos (A + B) = cos (180 – C) = –cos C.
Данное равенство переписывается так:
cos A + cos B + cos C = ³⁄₂. (1)
Докажем, что из (1) следует A = B = C = 60°.
Для произвольного треугольника
cos A + cos B = 2 cos ½(A + B) cos ½(A – B), (2)
cos ½(A + B) = cos ½(180° – C) = cos (90° – ½C) = sin ½C. (3)
Равенство (3) показывает, что cos ½(A + B) — положительная величина, поэтому из (2) следует, что
cos A + cos B ≤ 2 cos ½(A + B) = 2 sin ½C.
Следовательно,
cos A + cos B + cos C ≤ 2 sin ½C + cos C = 2 sin ½C + 1 – 2 sin² ½C =
= –2(sin ½C – ½)² + ³⁄₂.
Значит, для любого треугольника
cos A + cos B + cos C ≤ ³⁄₂,
причём равенство достигается при sin ½C = ½, cos ½(A – B) = 1, т. е. при A = B = C = 60°.
Итак, треугольник ABC правильный. Сторона равна 18/3 = 6. Биссектрисы (они же высоты и медианы) все три равны 3√3. Площадь (правильного) треугольника из них равна
¼√3 (3√3)² = ²⁷⁄₄√3.
Ответить
Другие вопросы из категории
Основание AC равнобедренного треугольника лежит в плоскости альфа. Найдите расстояние от точки B до плоскости альфа, если AB=20 см, AC=24 см, а
двугранный угол между плоскостями ABC и *альфа* равен 30 градусам.
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6 см. Через больший катет нижнего основания и противоположную вершину верхнего
основания призмы проведена плоскость , образующая угол 60 градусов с плоскостью основания . Найти площадь сечения??
Отрезок АВ не пересекает плоскость а. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к плоскости а и пересекающие её в точках А1 и В1. Найдите АВ,
если А1В1=12, АА1=6, ВВ1=11.
Читайте также
С4. Центр вписанной в треугольник АВС окружности делит биссектрису угла В на части 10 и 5, считая от вершины В, а биссектрису угла А на отрезки 3 и 1.
Периметр треугольника АВС равен 36. Определите стороны треугольника.
1)Одна из двух сторон треугольника равна 7, а другая на 3 больше. Найдите периметр треугольника. 2)Найдите площадь
треугольника, если его периметр равен 52, а радиус, вписанной в треугольник окружности равен 5.
В прямоугольном треугольнике АВС с вершины прямого угла С проведена высота CD. Радиус окружности, вписанной в треугольник АВС равен 1, а периметр
треугольника ACD равен 7,2. Найти наименьшую сторону треугольника ABC.
только чтоб грамотно было обосновано
НАРОД ПОМОГИТЕ ПЛИЗ А ТО УБЬЮТ 1.Периметр правильного шестиугольника равен 72 см...Вычислите длину диаметра окружности, описанной
около этого шестиугольника 2.Сторона квадрата АВСД равна 5(корень из 2) см. Вычислите длину дуги АВ описанной около него окружности. 3. Высота правильного треугольника равна 9 см Вычислите площадь круга, ограниченного описанной около треугольника окружностью. 4.Радиус окружности,описанной около правильного треугольника,равен 18 см. Вычислите отношение периметра этого треугольника к длине вписанной в него окружности
в треугольнике абс стороны аб и бс равны соответственно 14 и 18 см.сторона аб продолжена за за точку а на отрезок ам равный аб сторона бс продолжена за
точку с на отрезок кс равный половине бс найдите площадь треугольника мбк если площадь треугольника абс равна 126 см в квдрате
Вы находитесь на странице вопроса "1)Периметр треугольника АБС равен 18, его углы А и Б связаны соотношением: 2(сosА + cosБ) = 3+2cos(А+Б).", категории "геометрия". Данный вопрос относится к разделу "10-11" классов. Здесь вы сможете получить ответ, а также обсудить вопрос с посетителями сайта. Автоматический умный поиск поможет найти похожие вопросы в категории "геометрия". Если ваш вопрос отличается или ответы не подходят, вы можете задать новый вопрос, воспользовавшись кнопкой в верхней части сайта.