В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E , K и L – середины ребер AA1 ,CD и B1C1 соответственно, а точки M иN расположены соответственно на от-резках EK и LK

+ 0 -

Dorohovaliste

31 марта 2014 г., 14:38:20 (10 лет назад)

Треугольник KLM равносторонний, его стороны 
a^2 = 1^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2 = 3/2; a = √(3/2);
Точка Р - пересечение продолжений MN  и EL; еще пусть MQ II EL; (Q лежит на KL) и ТЕ II EK; К лежит на EL;
Ясно, что LN = NT = TL = a/5; при этом LQ = a*(2/5); 
(потому что LQ/QL = EM/MK =2/3; то есть LQ/LK = 2/(2 + 3) = 2/5;)
То есть NQ = LQ - LN = a/5 = LN; 
Следовательно, треугольники MQN и LNP равны (стороны и углы при них равны)
и LP = MQ, а MN = NP;
MQ легко вычислить MQ/EL = MK/EK = 3/5; то есть MQ = a*(3/5);
Таким образом, получилось вот что MN = NP = a*(3/5);
Теперь надо провести из точки N перпендикуляр к EL. Пусть его основание Н.
Ясно, что NH/h = NL/KL = 1/5; NH = h/5; где h - высота треугольника EKL;
h = a*√3/2; поэтому NH = a*√3/10;
При этом HL/(EL/2) = NL/KL = 1/5; HL = a/10;
HP = HL + LP = a/10 + a*3/5 = a*7/10;
MN^2 = NP^2 = HP^2 + NH^2 = a^2*(√3/10)^2 + a^2*(7/10)^2 = a^2*(52/100) = a^2(13/25);
MN = a*√13/5 = √(3/2)*√13/5 = √78/10; 

Другое решение :))
Треугольник KLM равносторонний, его стороны 
a^2 = 1^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2 = 3/2; a = √(3/2);
KM = a*3/5; KN = a*4/5; cos(угол MKN) = cos(60°) = 1/2;
По теореме косинусов 
MN^2 = (a*3/5)^2 + (a*4/5)^2 - (a*3/5)*(a*4/5) = a^2*13/25; 
MN = a*√13/5 = √78/10; 
Вся задача решилась, и ответ получился в одну строку.
Прошу прощения за арифметическую ошибку.

+ 0 -

Меса

31 марта 2014 г., 16:37:23 (10 лет назад)

я неуверен в последнем ращете но докозательство равнобедрености КЕ и КL правельное.